“Вейвлет-анализ разработан для решения задач, оказавшихся слишком сложными для традиционного анализа Фурье. Преобразование Фурье представляет сигнал, заданный во временной области, в виде разложения по ортогональным базисным функциям (синусам и косинусам) с выделением частотных компонентов. Недостаток преобразования Фурье заключается в том, что частотные компоненты не могут быть локализованы во времени, обуславливая его применимость только к анализу стационарных сигналов, в то время как многие сигналы имеют сложные частотно-временные характеристики. Как правило, такие сигналы состоят из близких по времени, короткоживущих высокочастотных компонентов и долговременных, близких по частоте низкочастотных компонентов. Для анализа таких сигналов необходим метод, способный обеспечить хорошее разрешение как по частоте, так и по времени. Первое необходимо для локализации низкочастотных составляющих, второе - для выделения компонентов высокой частоты. Существует два подхода к анализу нестационарных сигналов такого типа. Первый основан на локальном преобразовании Фурье (short-time Fourier transform). Следуя по этому пути, нестационарный сигнал сводится к стационарному путем его предварительного разбиения на сегменты (фреймы), статистика которых не меняется со временем. Второй подход заключается в использовании вейвлет-преобразования. Не так уж трудно рассказать без математической строгости, что такое вейвлет-анализ. Всем известно, что любой сигнал можно разложить в сумму гармоник (синусоид) разной частоты. Но синусоидальные волны бесконечны, и не очень-то отслеживают изменения сигнала во времени. Чтобы уловить эти изменения, вместо бесконечных волн можно взять совершенно одинаковые, но разнесенные по времени короткие "всплески". Однако, как оказалось, этого недостаточно, надо добавить еще их всевозможные растянутые и сжатые копии. Вот теперь сигнал можно разложить на сумму таких всплесков разного размера и местоположения. По сути, это и есть вейвлет-анализ.
Коэффициенты разложения, по сути несущие информацию об эволюции сигнала, зависят от выбора изначального всплеска. Для каждой прикладной задачи можно подобрать наиболее приспособленный (именно для нее) всплеск, который и называется вейвлетом. Математическая сторона вейвлет-анализа - вещь довольно тонкая, хотя и весьма наглядная. Вообще, реально работающие в приложениях математические методы всегда (почему-то) опираются на красивую чистую математику - это экспериментальный факт. А вот прикладная сторона вейвлетов проста на столько, что дальше некуда. При этом вейвлет-преобразование не только работает быстрее, чем преобразование Фурье, но и его программная реализация несравненно проще.”1
“Вейвлеты (от англ. wavelet) — это математические функции, позволяющие анализировать различные частотные компоненты данных. Однако это частное определение — в общем случае анализ сигналов производится в плоскости вейвлет-коэффициенты (масштаб) — время — уровень (Scale-Time-Amplitude). Вейвлет-коэффициенты определяются интегральным преобразованием сигнала. Полученные вейвлет-спектрограммы принципиально отличаются от обычных спектров Фурье тем, что дают четкую привязку спектра различных особенностей сигналов ко времени.”2
“Cигнал анализируется путем разложения по базисным функциям, полученным из некоторого прототипа путем сжатий, растяжений и сдвигов (2). Функция-прототип называется анализирующим (материнским) вейвлетом.
Вейвлет - функция должна удовлетворять 2-м условиям:
1. Среднее значение (интеграл по всей прямой) равен 0.
2. Функция быстро убывает при t ® w.
Обычно, функция-вейвлет обозначается буквой w.
Рис 1. Примеры вейвлетов.
Главным элементом в вейвлет анализе является функция-вейвлет. Вообще говоря, вейвлетом является любая функция, отвечающая двум вышеуказанным условиям. Наибольшей популярностью пользуются два изображенных на рисунке 1 вейвлета:
Сверху изображен вейвлет “сомбреро” (Mexican Hat), названный так благодаря своему внешнему виду. На нижней части рисунка 1 изображен вейвлет Морле. График любого вейвлета выглядит примерно также, как и вейвлет Морле. Заметим, что вейвлет Морле – комплекснозначный, на рисунке изображены его вещественная и мнимая составляющие.
Итак, у нас имеется некоторая функция f(t), зависящая от времени. Результатом ее вейвлет-анализа будет некоторая функция W(x,s), которая зависит уже от двух переменных: от времени и от частоты (обратно пропорционально). Для каждой пары x и s рецепт вычисления вейвлет преобразования следующий:
Функция вейвлет растягивается в s раз по горизонтали и в 1/s раз по вертикали. Далее он сдвигается в точку x. Полученный вейвлет обозначается w(x,s). Производится усреднение в окрестности точки s при помощи w(x,s).
В результате “вырисовывается” вполне наглядная картина, иллюстрирующая частотно-временные характеристики сигнала. По оси абсцисс откладывается время, по оси ординат – частота (иногда размерность оси ординат выбирается так: log(1/s), где s-частота), а абсолютное значение вейвлет преобразования для конкретной пары x и s определяет цвет, которым данный результат будет отображен (чем в большей степени та или иная частота присутствует в сигнале в конкретный момент времени, тем темнее будет оттенок).
Рис 2. Вейвлет преобразование стационарного сигнала.
Данный рисунок показывает результаты вейвлет анализа для сигнала, представляющим из себя наложение двух синусоид различной частоты. Частотные характеристики данного сигнала не меняются во времени (сигнал стационарный), что хорошо видно на верхней части рисунка 2.
Рис 3. Сравнение методов анализа.
По рисунку 3 удобно сравнить результаты, которые дают преобразование Фурье и вейвлет преобразование. Исходный сигнал изображен на рис (3a). Как видно из рис (3c) преобразование Фурье дает информацию о том спектре частот, который присутствует в сигнале в промежутке времени от 0 до 1 сек., при этом нам неизвестно когда именно та или иная частота реально присутствовала в сигнале.
В то же время вейвлет преобразование (3b) дает исчерпывающую картину динамики изменения частотных характеристик во времени. Все это указывает на то, что вейвлет преобразование существенно более информативно по сравнению с преобразованием Фурье.”3
“Вейвлет-преобразования обычно делят на дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) и непрерывное вейвлет-преобразование (НВП).”4
"В численном и функциональном анализе дискретные вейвлет-преобразования (ДВП) относятся к вейвлет-преобразованиям, в которых вейвлеты представлены дискретными сигналами (выборками).
Первое ДВП было придумано венгерским математиком Альфредом Хааром. Для входного сигнала, представленного массивом 2n чисел, вейвлет-преобразование Хаара просто группирует элементы по 2 и образует от них суммы и разности. Группировка сумм проводится рекурсивно (в случае чётной длины последовательности сумм) для образования следующего уровня разложения. В итоге получается 2nw1 разность и 1 общая сумма.
Это простое ДВП иллюстрирует общие полезные свойства вейвлетов. Во-первых, преобразование (один уровень) можно выполнить за O(n) операций. Во-вторых, оно не только раскладывает сигнал на некоторое подобие частотных полос (путём анализа его в различных масштабах), но и представляет временнуwю область, то есть моменты возникновения тех или иных частот в сигнале. Вместе эти свойства характеризуют быстрое вейвлет-преобразование — альтернативу обычному быстрому преобразованию Фурье.
Самый распространенный набор дискретных вейвлет-преобразований был сформулирован бельгийским математиком шнгрид Добеши (Ingrid Daubechies) в 1988 году. Он основан на использовании рекуррентных соотношений для вычисления всё более точных выборок неявно заданной функции материнского вейвлета с удвоением разрешения при переходе к следующему уровню (масштабу). В своей основополагающей работе Добеши выводит семейство вейвлетов, первый из которых является вейвлетом Хаара. С тех пор интерес к этой области быстро возрос, что привело к созданию многочисленных потомков исходного семейства вейвлетов Добеши.
Другие формы дискретного вейвлет-преобразования включают непрореженное вейвлет-преобразование (где не выполняется прореживания сигналов), преобразование Ньюлэнда (где ортонормированный базис вейвлетов выводится из специальным образом построенных фильтров типа «top-hat» в частотной области). Пакетные вейвлет-преобразования также связаны с ДВП. Другая форма ДВП — комплексное вейвлет-преобразование.
У дискретного вейвлет-преобразования много приложений в естественных науках, инженерном деле, математике (включая прикладную). Наиболее широко ДВП используется в кодировании сигналов, где свойства преобразования используются для уменьшения избыточности в представлении дискретных сигналов, часто — как первый этап в компрессии данных.”5
“Рассмотрим 1-3 пространство L2(R) функций f(t), определенных на всей действительной оси R(-w,w) и обладающих конечной энергией (нормой)
Локальное среднее значение каждой функции из L2(R) должно стремиться к нулю на ±w. Синусоидальная волна не принадлежит L2(R), и, следовательно, семейство синусоидальных волн не может быть базисом функционального пространства L2(R). Попробуем найти достаточно простые функции для конструирования
базиса пространства L2(R)
Сконструируем функциональное пространство L2(R) с помощью одного вейвлета w(t). Отметим, что это может быть вейвлет с одной частотой или с набором частот (frequency bands). Начнем с дискретных преобразований.
Как же с помощью быстро стремящейся к нулю локализованной функции покрыть всю ось R(-w,w)w Наиболее просто это можно сделать, предусмотрев систему сдвигов (переносов) вдоль оси. Пусть для простоты они будут целыми, т.е. w(t-k). Введем аналог синусоидальной частоты. Для простоты и определенности запишем ее через степени двойки: w(2jt-k) , здесь j и k - целые числа. Таким образом, с помощью дискретных масштабных преобразований (1/2j) и сдвигов (k/2j) мы можем описать все частоты и покрыть всю ось, имея единственный базисный вейвлет w(t).
Напомним теперь определение нормы:
(звездочка обозначает комплексное сопряжение). Следовательно,
| wjk |
| w |
Вейвлет w(t) w L2(R) называется ортогональным, если семейство {wjk} представляет собой ортонормированный базис функционального пространства L2(R), т.е. {wjk,wlm}=wjlwkm и каждая функция f w L2(R) может быть представлена в виде ряда
равномерная сходимость которого в L2(R) означает, что
Простейшим примером ортогонального вейвлета является вейвлет Хаара, определяемый соотношением
Легко видеть, что любые две функции wHjk, wHlm, полученные из этого вейвлета с помощью масштабных преобразований 1/2j, 1/2l и сдвигов k/2j, m/2l, ортогональны и имеют единичную норму.
Сконструируем базис функционального пространства L2(R) с помощью непрерывных масштабных преобразований и переносов вейвлета w(t) с произвольными значениями базисных параметров - масштабного коэффициента a и параметра сдвига b:
На его основе запишем интегральное вейвлет-преобразование:
Проводя дальнейшую аналогию с преобразованием Фурье, коэффициенты cjk = < f,wjk > разложения функции f в ряд по вейвлетам можно определить посредством интегрального вейвлет-преобразования:
В дальнейшем иногда вместо Wwf(a,b) для коэффициентов (амплитуд) вейвлет-преобразования используются обозначения W(a,b) или Wwf, или Wf.
Таким образом, каждая функция из L2(R) может быть получена суперпозицией масштабных преобразований и сдвигов базисной функции или, что то же, композицией вейвлетов с зависящими от номера волны (частоты, масштаба) и параметра сдвига (времени) коэффициентами.
Спектр W(a,b) одномерного сигнала представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Способы визуализации этой информации могут быть различными. Вместо изображения поверхностей часто представляют их проекции на плоскость ab с изолиниями или изоуровнями, позволяющими проследить изменение интенсивности амплитуд вейвлет-преобразования на разных масштабах и во времени, а также картины линий локальных экстремумов этих поверхностей (так называемый "sceleton"), четко выявляющие структуру анализируемого процесса.
В качестве примера рассмотрим применение вейвлет-анализа к синусоидам f(t)=sin(2wt/T1)+w sin(2wt/T2) , позволяющим легко сравнить с результатами привычного преобразования Фурье.
На рисунке 4 показан сигнал в виде суммы синусоид с заметно отличающимися частотами: (y=sin(30*x)+sin(100*x)).
Рис.4 Сумма синусоид с заметно отличающимися частотами
Вейвлет-преобразование такого сигнала выявляет периодическую структуру не хуже и не лучше преобразования Фурье. На рис. 5 видны две широких полосы, соответствующие двум различным частотам.
Рис.5 Вейвлет преобразование суммы синусоид с разными частотами
Однако разительное отличие этих двух спектральных анализов проявляется, когда сигнал представляет собой две последовательные синусоиды с различными частотами (рис. 6).
Рис.6 Две последовательные во времени синусоиды с различными частотами
Как видно из рис. 7, вейвлет-преобразование в этом случае позволяет проследить эволюцию частоты сигнала во времени, тогда как Фурье-спектр (рис. 8) в обоих случаях даст нам только два пика и никак не отразит сам момент изменения частоты сигнала.
Рис.7 Вейвлет-преобразование двух последовательных во времени синусоид с различными частотами
Рис.8 Спектр Фурье двух последовательных во времени синусоид с различными частотами
ИСпользование дискретного вейвлет-преобразования позволяет провести доказательство многих положений теории вейвлетов, связанных с полнотой и ортогональностью базиса, сходимостью рядов и т.п. Доказательность этих положений необходима, например, при сжатии информации или в задачах численного моделирования, т.е. в случаях, когда важно провести разложение с минимальным числом независимых коэффициентов вейвлет-преобразования и иметь точную формулу обратного преобразования. Использование непрерывного вейвлет-преобразования для анализа сигналов более удобно, а его некоторая избыточность, связанная с непрерывным изменением масштабного коэффициента а и параметра сдвига b, становится здесь положительным качеством, так как позволяет более полно и четко представить и проанализировать содержащуюся в исходных данных информацию. В частности, становится возможным проведение локализации и классификации особых точек и вычисление различных фрактальных характеристик сигнала, а также выполнение частотно-временного анализа нестационарных сигналов. Например, у таких сигналов, как речевой сигнал, спектр радикально меняется во времени, а характер этих изменений представляет собой очень важную информацию при распознавании речи.
На основе вейвлетов создаются и такие элементы, как высокочастотный и низкочастотный вейвлет-фильтры, посредством которых производится фильтрация сигнала по алгоритму Малла (рис. 9 слева). При этом для увеличения разрешения вейвлет-фильтров по частоте используется простой и достаточно эффективный прием. Опишем его для ортогонального случая.
Рис.9 Разложение по вейвлет-пакетам.
В соответствии с данным алгоритмом низкочастотный диапазон на каждом шаге делится пополам, т. е. на каждом шаге "отрезается" половина (в случае идеального фильтра) низкочастотной части диапазона. Но такую же операцию можно применить и для "расщепления" (splitting) к любой из получающихся высокочастотных компонент. На рис. 9 справа показана схема разложения сигнала, при которой каждый высокочастотный диапазон из схемы Малла тоже делится пополам. В этом случае, дерево на рис. 6 справа соответствует замене вейвлета w(t) на два новых вейвлета: w1=whn2=wgnw(t-n) , которые тоже локализованы в пространстве, но на вдвое более широком отрезке, чем исходный вейвлет, так как их локализация по частоте вдвое тоньше. В результате можно построить произвольное бинарное дерево разложения, и ему будет соответствовать набор подпространств с базисами, построенными аналогичным образом. Функции, порождающие эти базисы, называются вейвлет-пакетами (wavelet-packets). Ясно, что та же схема действует и в биортогональном случае.
Для выбора квазиоптимального дерева разработан ряд методов, основанных на введении некоторой функции ("энтропии"), позволяющей оценить "информативность" набора коэффициентов. Стратегия такова: сначала строится полное дерево разложения, затем снизу вверх анализируются пары узлов, имеющих общий корень. Если при переходе от корня к узлам энтропия не уменьшается, эта пара заменяется на корень. Упрощенный вариант заключается в подборе оптимального уровня, т.е. высоты полного дерева, при которой энтропия минимальна.”6
“Известно, что операторам современных инфокоммуникационных сетей приходится контролировать огромное количество разнообразных параметров, что снижает эффективность управления этими сетями и осложняет работу сетевых администраторов. В связи с этим вопрос минимизации числа параметров, отражающих состояние сети, приобретает первостепенное значение. Следовательно, необходим поиск обобщенных параметров, которые позволят осуществить контроль соответствия информационных потоков в инфокоммуникациях и тем самым более гибко решать вопросы оптимизации управления сетью.
В основе такого решения предлагается использование современного математического аппарата обработки сигналов, базирующегося на вейвлет-анализе и максимально отвечающего описанию контроля соответствия информационных потоков, заключающегося в сравнении образцового сигнала refdata с реальным (искаженным) сигналом
degdata , т.е. с сигналом, прошедшим через чёрный ящик (какую-то среду, модель и т.д.). Можно ожидать, что имея в наличии вейвлет образы входного и выходного сигналов и осуществив их сравнение будем иметь информацию о влиянии "чёрного ящика" на проходящий через него сигнал (рис. 10).
Рис.10 Схема оценки пройденного через "черный ящик" сигнала
Так как процедура сравнения здесь оказывается определяющей, рассмотрим ее более подробно. Вначале, из исходного сигнала удаляется постоянная составляющая (среднее значение) refdata= refdata- mean(refdata), а затем осуществляется его фильтрация refdata= filter(hinput, refdata) , что нужно для более яркого выделения особенностей на фоне самого сигнала. Искаженный сигнал также подвергается предварительной обработке с удалением из него постоянной составляющей degdata= degdata- mean(degdata), задержек различной природы и, при необходимости, выполняется фильтрация degdata= filter(hinput, degdata), выявление активных участков для правильного сопоставления с исходным сигналом и т.д.
После проведения предварительной обработки сигналов, становится возможным выполнение процедуры сравнения, которая, как правило, затем оценивается по трём характеристикам: время, частота и амплитуда. Иными словами сигналы (исходный и искажённый) представляются в более значимом виде трёхмерных вейвлет-образов (рис.11), получаемых в результате вейвлет-преобразования. Отличие данного представления от традиционной спектрограммы состоит в том, что на нём изображён не весь сигнал, а лишь его значимые участки. Это позволяет провести более экономный анализ соответствия исходного и искажённого сигналов без потери эффективности.
Рис.11 Трехмерный вейвлет-образ.
Итак, взяв разницу между образами исходного Refsurfw,t и искажённого Degsurfw,t сигналов, на основе проведённого таким образом сравнения, накапливается полная информация обо всех возникающих отклонениях, на основе которых и формируется заключение о качестве ”7
Errsurfw,t= Degsurfw,t- Refsurfw,t , где w - частота, t - время.
Выше были рассмотрены основные виды вейвлет-анализа, а именно, дискретный и непрерывный анализ, а также затронули вейвлет-фильтрацию и их использование для оценки качества инфокоммуникаций. Более полную информацию, в частности, об обратном вейвлет-преобразовании, используемом для восстановления сигнала по вейвлет-коеффициентам, можно почерпнуть из 1,2, здесь же отразим ключевые моменты, которые необходимо учитывать при использования вейвлет-анализа для контроля инфокоммуникаций.
1. “Поиск оптимального (для конкретной ситуации) компромисса между непрерывным и дискретным представлением. Ортогональный вейвлет-базис можно рассматривать, как словарь "форм", из которых по определенным правилам набирается заданный сигнал. Но этот словарь можно значительно расширить, взяв более густую сетку в фазовой плоскости. Разложение по такому словарю уже не будет однозначным, но его можно лучше подогнать к сигналу, сделать более устойчивым к помехам. Нахождение коэффициентов в принципе здесь относится к задаче оптимизации, но обычно существуют сравнительно быстрые алгоритмы "квазиоптимизации", самый популярный из которых называется "поиск совпадения" (matching pursuit). Такая методика, кстати, применима не только к вейвлетным словарям.
2. ИСпользование биортогонального вейвлет-анализа вместо ортогонального. В двух словах это означает, что для разложения по алгоритму Малла используется одна пара фильтров, для восстановления - другая. Биортогональные фильтры построить легче, так как они более гибкие (например, их можно сделать симметричными, в отличие от ортогональных), но, к сожалению, в этом случае возрастает чувствительность к погрешностям при восстановлении.
3. Введение идеи лифтинга (lifting), согласно которой фильтры H и G оказывается всегда можно свести к последовательному применению более коротких фильтров, что ускоряет алгоритм разложения. Если сразу строить их в таком виде, можно достичь лучшей адаптации к сигналу. С этим связана и другая идея, заключающаяся в использовании в разных точках сигнала разных фильтров. Это приводит к отказу от вейвлет-базиса, состоящего из копий одной функции, при сохранении быстрого алгоритма. С помощью этой же идеи строятся вейвлетные фильтры, переводящие целые числа в целые (хотя коэффициенты фильтров могут быть и не целыми!). Это достаточно эффективная предобработка для последующего анализа сигнала.
4. ИСпользование мультивейвлетов, которые возникают, если коэффициенты фильтров H и G представляют собой не числа, а матрицы. В этом случае каждое пространство "деталей" вейвлет образа будет порождаться не одним вейвлетом, а несколькими, в связи с чем последние и называются мультивейвлетами. Быстрый алгоритм разложения в этом случае пишется в матричном виде так же, как алгоритм Малла, но при той же гладкости функции, у мультивейвлетов локализация в пространстве становится лучше, чем при одном вейвлете.”8
1. "Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения", Н.М. Астафьева, (2003)
2. Википедия: независимая энциклопедия/ url:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Wavelet (дата обращения: 25.05.10)
3. Официальные периодические издания: IT-аналитика, электронный журнал/ url: http://www.itanalytic.ru (дата обращения : 27.05.10)
4. Википедия: независимая энциклопедия/
URL:http://ru.wikipedia.org/wiki/Wavelet (дата обращения: 25.05.10)
5. Википедия: независимая энциклопедия/ url:http://ru.wikipedia.org/wiki/Дискретное_вейвлет-преобразование (дата обращения: 25.05.10)
6. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам, перевод. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 464с.
7. Официальные периодические издания: Контроль качества инфокоммуникаций с использованием вейвлет-анализа. url:http://www.syrus.ru/index.cgiwTemplate=all_docs&TreeId=89900&DocId=60 (дата обращения: 25.05.10)
8. Воробьев В. П. - Теория и практика вейвлет преобразования (2004)
;){kind=link}